L’attività umana di definire un’entità si riconduce in ambito matematico a due possibilità oltre alla primitiva esistenza.

Evidenziamo che parliamo di concetti, ovvero enti esistenti all’interno della propria mente. Le discipline matematiche volgono particolare interesse a questi aspetti.

Se un concetto esiste

o è primitivo

oppure è stato definito mediante “rinominazione”

oppure è stato definito mediante il “passaggio al quoziente”

 

Rinominazione significa attribuire un altro nome al concetto in questione.

Il “passaggio al quoziente” esprime un procedimento molto astratto che caratterizza l’algebra.

Come nasce un nuovo concetto?

Si parte da un insieme con elementi.

Si supponga poter introdurre una equivalenza tra coppie di elementi dello stesso.

Quindi si raccolgano sottoinsiemi ognuno dei quali contenga tutti e soli gli elementi equivalenti tra loro. Si esprime la situazione così creata con l’aver creato una partizione dell’insieme dato.

Si osservi che ogni elemento appartiene ad una ed una sola classe, ovvero le classi sono disgiunte.

A questo punto scatta la novità. Si immagina di “fondere” tutti gli elementi di una classe per creare un solo nuovo elemento, si dice che un elemento della classe individua il nuovo elemento.

Si viene a costruire così un nuovo insieme, detto insieme quoziente. Questo insieme non esisteva prima, è qualche cosa di nuovo, fa pensare ai meccanismi legati alla concettualizzazione. Quindi dal vecchio insieme si definisce il nuovo mediante il passaggio al quoziente.