Informatica

Cenni di goniometria.

Colloquio con Claude.

Ciao, ti chiederei di aiutarmi a preparare una lezione di goniometria per la quarta. Introdotti l’angolo, l’angolo orientato, le misure degli angoli, la conversione tra misure, la misura generalizzata dell’angolo, il piano cartesiano, la circonferenza, l’equazione della circonferenza, la circonferenza unitaria, il piano goniometrico, le funzioni, le funzioni coseno e seno, vorrei chiederti un formulario minimo di goniometria con qualche esercizio svolto come riferimento per la prossima verifica.

Formulario di goniometria

Riferimento per la verifica — quarta superiore

1. Definizioni fondamentali

Dato un angolo orientato α, sia P il punto sulla circonferenza unitaria (centro O, raggio 1) individuato dall’arco di ampiezza α. Si definiscono:

Coseno

cos α = xP ascissa di P sulla circonferenza unitaria

Seno

sin α = yP ordinata di P sulla circonferenza unitaria

Tangente

tan α = sin α / cos α definita per cos α ≠ 0

Cotangente

cot α = cos α / sin α definita per sin α ≠ 0

2. Identità fondamentale

Teorema di Pitagora sulla c.u.

sin²α + cos²α = 1 valida per ogni α ∈ ℝ

Da cui si ricava il coseno

cos²α = 1 − sin²α

Da cui si ricava il seno

sin²α = 1 − cos²α

3. Conversione tra misure

Gradi → radianti

rad = gradi × π / 180

Radianti → gradi

gradi = rad × 180 / π

Equivalenze principali

360° = 2π   180° = π   90° = π/2 60° = π/3  

45° = π/4   30° = π/6

4. Segni per quadrante

I quadrante (0, π/2)

sin > 0   cos > 0   tan > 0

II quadrante (π/2, π)

sin > 0 cos < 0   tan < 0

III quadrante (π, 3π/2)

sin < 0   cos < 0   tan > 0

IV quadrante (3π/2, 2π)

sin < 0   cos > 0   tan < 0

5. Periodicità e simmetrie

Periodicità (T = 2π)

sin(α + 2kπ) = sin α stesso per cos α, con k ∈ ℤ

Angolo opposto

sin(−α) = −sin αcos(−α) = cos α

Supplementare (π − α)

sin(π − α) = sin α cos(π − α) = −cos α

Complementare (π/2 − α)

sin(π/2 − α) = cos α cos(π/2 − α) = sin α

Angolo + π

sin(α + π) = −sin αcos(α + π) = −cos α

6. Valori notevoli

α (gradi)α (rad)sin αcos αtan α
0°0010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
120°2π/3√3/2−1/2−√3
135°3π/4√2/2−√2/2−1
150°5π/61/2−√3/2−√3/3
180°π0−10
270°3π/2−10—
360°2π010

Trucco mnemonico — i valori del seno per 0°, 30°, 45°, 60°, 90° seguono il pattern √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 cioè 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Il coseno degli stessi angoli è lo stesso elenco letto al contrario.

7. Esercizi svolti

Es. 1 — Conversione di misura. Convertire 210° in radianti e 7π/4 in gradi.

1 Gradi → radianti: 210 × π/180 = 210π/180

2 Semplifico: 210/180 = 7/6, quindi 210° = 7π/6 rad

3 Radianti → gradi: 7π/4 × 180/π = 7 × 45 = 315°

210° = 7π/6 rad  |  7π/4 = 315°

Es. 2 — Identità fondamentale. Sapendo che sin α = 3/5 e che α è nel II quadrante, trovare cos α e tan α.

1 Uso l’identità fondamentale: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25

2 Quindi |cos α| = 4/5. Nel II quadrante il coseno è negativo: cos α = −4/5

3 La tangente: tan α = sin α / cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4

cos α = −4/5  |  tan α = −3/4

Es. 3 — Riduzione al primo quadrante. Calcolare sin(5π/6) e cos(7π/4).

1 5π/6 = π − π/6 → II quadrante; applico la formula dell’angolo supplementare

2 sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2

3 7π/4 = 2π − π/4 → IV quadrante; cos(2π − π/4) = cos(π/4) = √2/2

sin(5π/6) = 1/2  |  cos(7π/4) = √2/2

Es. 4 — Equazione goniometrica elementare. Risolvere sin x = −√3/2.

1 Il valore assoluto √3/2 corrisponde all’angolo di riferimento π/3 (60°)

2 Il seno è negativo nel III e IV quadrante: π + π/3 = 4π/3 e 2π − π/3 = 5π/3

3 Aggiungo la periodicità 2kπ con k ∈ ℤ

x = 4π/3 + 2kπ   oppure   x = 5π/3 + 2kπ  (k ∈ ℤ)

Es. 5 — Punto sulla circonferenza unitaria. Il punto P(−√2/2, √2/2) appartiene alla circonferenza unitaria? Se sì, a quale angolo corrisponde?

1 Verifico: (−√2/2)² + (√2/2)² = 1/2 + 1/2 = 1 ✓ appartiene alla c.u.

2 cos α = −√2/2 e sin α = √2/2 > 0 → II quadrante

3 Angolo del II quadrante con |cos| = √2/2: π − π/4 = 3π/4 (= 135°)

Sì, P appartiene alla c.u.  |  α = 3π/4 = 135°