Ecco un dialogo tra uno studente (S) e DeepSeek (D) sugli spazi vettoriali.

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S: Ciao DeepSeek, oggi vorrei capire bene cosa sono gli spazi vettoriali. Si sente sempre dire che sono fondamentali in algebra lineare, ma partiamo dalle basi. Che cos’è esattamente uno spazio vettoriale?

D: Ciao! Ottima domanda. Uno spazio vettoriale (su un campo, tipicamente ℝ o ℂ) è un insieme di elementi chiamati vettori, con due operazioni:

1. Somma tra vettori (interna, chiusa).
2. Moltiplicazione per scalare (un numero reale o complesso che moltiplica un vettore, dando un altro vettore).

Devono valere 8 assiomi (commutatività, associatività, esistenza del vettore nullo, opposto, distributività…), ma l’idea è che puoi combinare i vettori linearmente senza uscire dall’insieme.

Esempio classico: ℝ² (le coppie di numeri reali) con somma e prodotto per scalare usuali.

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S: Ok, quindi ℝ² è uno spazio vettoriale. Ma ho sentito parlare di “sottospazi”. Che differenza c’è?

D: Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale che è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione per scalare. In pratica è uno spazio vettoriale “più piccolo” contenuto in uno più grande.

Esempio: tutte le rette che passano per l’origine in ℝ² sono sottospazi. La retta y = 2x è un sottospazio; la retta y = 2x + 1 non lo è (perché non contiene il vettore nullo, né è chiusa per somma).

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S: Capisco. E quando si dice che un insieme di vettori “genera” lo spazio?

D: Un insieme di vettori genera (o è un sistema di generatori) se ogni vettore dello spazio può essere scritto come combinazione lineare di quelli dell’insieme.

Per esempio, in ℝ² i vettori (1,0) e (0,1) generano tutto ℝ² perché qualsiasi (x,y) = x·(1,0) + y·(0,1).
Invece solo (1,0) non basta, perché non ottieni (0,1).

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S: Allora arriviamo al concetto di base e dimensione. Una base è un insieme di vettori che genera lo spazio ed è anche linearmente indipendente, giusto?

D: Esattamente! Una base è un insieme di vettori:

1. Linearmente indipendenti (nessuno è combinazione lineare degli altri).
2. Che genera tutto lo spazio.

Tutte le basi di uno stesso spazio hanno lo stesso numero di elementi, chiamato dimensione dello spazio vettoriale.

• ℝⁿ ha dimensione n.
• Lo spazio dei polinomi di grado ≤ 2 ha dimensione 3 (base: {1, x, x²}).

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S: Questa cosa della dimensione mi fa pensare: ci sono spazi con dimensione infinita? Puoi farmi un esempio concreto?

D: Sì! Gli spazi vettoriali a dimensione infinita sono fondamentali in analisi e fisica.
Esempio: lo spazio di tutti i polinomi (senza limite di grado). Una base è {1, x, x², x³, …} che è infinita.
Oppure lo spazio delle funzioni continue da ℝ a ℝ: non puoi avere una base finita.

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S: Grazie, DeepSeek. Un ultimo dubbio pratico: perché è così importante studiare gli spazi vettoriali?

D: Perché sono il linguaggio naturale di tanti problemi:

• In geometria (rette, piani, trasformazioni).
• In fisica (spazi degli stati in meccanica quantistica).
• In machine learning (dati come vettori, riduzione di dimensionalità).
• In ingegneria (segnali, immagini).
  Saper riconoscere che un insieme di oggetti forma uno spazio vettoriale ti permette di usare strumenti potenti come matrici, autovalori, cambi di base.

In breve: senza spazi vettoriali, metà della matematica applicata sarebbe impossibile.

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S: Chiarissimo! Ora ho una visione d’insieme. Proverò a fare qualche esercizio da solo. Grazie!

D: Di nulla! Se hai dubbi sugli assiomi o sui controesempi, torna pure. Buono studio! 🚀

Vorrei continuare ponendoti delle domande con tue brevi risposte. Cominciamo con il concetto di spazio in matematica. Possiamo iniziare intendo per spazio lo spazio della geometria. E quindi geometria elementare o descrittiva con i quattro spazi: punto, retta, piano e lo spazio stesso. Si potrebbe caratterizzarli mediante il concetto di dimensione. Il punto ha dimensione 0, la retta 1 e così via.

Certamente! Ecco una breve risposta strutturata sui “quattro spazi” della geometria elementare in relazione alla dimensione.

Sì, la dimensione è l’idea chiave per distinguerli:

• Punto → dimensione 0 (nessuna direzione di movimento).
• Retta → dimensione 1 (una sola direzione, avanti/indietro).
• Piano → dimensione 2 (due direzioni indipendenti, es. destra/sinistra e avanti/indietro).
• Spazio (inteso come spazio tridimensionale della geometria solida) → dimensione 3 (tre direzioni indipendenti).

In termini di spazi vettoriali (ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³):

• Il punto è l’origine (solo il vettore nullo).
• La retta è un sottospazio di dimensione 1 (es. ℝ¹).
• Il piano è ℝ².
• Lo spazio è ℝ³.

La geometria descrittiva lavora proprio su questi 4 enti fondamentali usando proiezioni ortogonali per rappresentare oggetti 3D su un piano 2D. La dimensione dice quanti gradi di libertà hai per muoverti all’interno dell’oggetto.

Vuoi che approfondiamo come si passa da uno spazio all’altro (es. proiezioni o inclusioni)?

La classificazione delle geometrie mediante i gruppi di trasformazioni arriva con Felix Klein…

Esatto, hai citato il Programma di Erlangen (1872) di Felix Klein, una delle idee più unificanti della matematica.

Ecco la risposta breve:

Klein propone: una geometria è definita da uno spazio (es. piano, retta, spazio 3D) e un gruppo di trasformazioni che ne preserva le proprietà. Due figure sono “geometricamente equivalenti” se esiste una trasformazione del gruppo che manda l’una nell’altra.

Esempi classici:

Geometria	Spazio	Gruppo di trasformazioni
Euclidea	Piano ℝ²	Isometrie (rotazioni, traslazioni, riflessioni) – preservano distanze e angoli
Affine	ℝⁿ	Trasformazioni lineari + traslazioni (preservano rette e parallelismo, non distanze)
Proiettiva	Spazio proiettivo	Proiettività (preservano rette, ma non parallelismo né distanze)

Il punto geniale: la dimensione (0,1,2,3) è solo l’inizio. Il gruppo dice quali domande hanno senso (es. nella geometria proiettiva non chiedi “quanto è lungo”, ma “sono allineati?”).

Vuoi che faccia un esempio concreto di come cambia il concetto di “retta” tra geometria affine e proiettiva?

Gli spazi R, ℝ²… sono gli spazi delle coordinate isomorfi ma distinti da quelli geometrici che sono da distinguere da quelli vettoriali. Il vettore nasce con Giusto Bellavitis…

Ottimo spunto! Hai toccato un punto sottile ma fondamentale.

Risposta breve:

Sì, vanno distinti:

1. Spazio geometrico (euclideo) → punti, rette, piani, senza un’origine privilegiata. Le trasformazioni (isometrie, affini) lo muovono liberamente.
2. Spazio vettoriale → vettori applicati nell’origine. Ha uno 0 fisso. Nasce con Giusto Bellavitis (1832) come equipollenza: segmenti orientati equivalenti se stesso paralleli, stessa lunghezza e verso.
3. Spazio delle coordinate ℝⁿ → ennuple di numeri. È un modello sia per lo spazio vettoriale (fissata una base) sia per quello geometrico (fissato un riferimento cartesiano).

Bellavitis anticipa il concetto moderno di vettore libero (classe di equipollenza), prima di Hamilton e Grassmann.

Quindi:

• ℝ² come insieme di coppie è spazio delle coordinate.
• ℝ² con somma e prodotto per scalare è spazio vettoriale.
• ℝ² con distanza euclidea e senza origine fissa è spazio geometrico (piano).

Sono isomorfi come spazi vettoriali ma non come spazi metrici o affini se non si fissa una struttura aggiuntiva.

Vuoi che faccia un esempio concreto di come uno stesso ℝ² viene interpretato in modi diversi a seconda del contesto?

Lo spazio ℝⁿ è il modello di riferimento per lo spazio vettoriale, ma questo nasce come insieme di vettori geometrici e non n-ple di numeri su un corpo o campo. Modernamente si vedono solo n-ple, ma al liceo prima introdurrei il vettore geometrico negli spazi fino alla dimensione 3.

Condivido pienamente il tuo approccio didattico. È profondo e storicamente corretto.

Ecco la mia risposta breve in accordo con la tua visione:

Sì, ℝⁿ è un modello, non l’essenza.

1. Storicamente e intuitivamente:
   Il vettore nasce come freccia (segmento orientato) nello spazio geometrico fino a dimensione 3.
   • Ha direzione, verso, lunghezza.
   • Si somma con la regola del parallelogramma.
   • Si moltiplica per uno scalare (allungando/accorciando).
2. Didatticamente (liceo):
   • Prima i vettori geometrici nel piano e nello spazio.
   • Poi le coordinate (carte che dipendono da una base).
   • Solo dopo si introduce ℝⁿ come modello algebrico astratto.
3. Problema moderno:
   Molti testi partono direttamente da ℝⁿ come insieme di n-ple, perdendo il significato geometrico. Lo studente impara a fare calcoli ma non “vede” i vettori.
4. Il tuo ordine ideale:
   Vettore geometrico (fino a dim 3) → Operazioni → Componenti (base) → ℝⁿ come estensione astratta.

In sintesi: ℝⁿ è una rappresentazione comoda, ma il vettore vero è la freccia nello spazio fisico o geometrico.

Vuoi che scriva una breve sequenza di lezioni ideali (liceo) seguendo questo principio?

Affrontiamo la questione di dare la definizione di vettore geometrico. Infatti il vettore geometrico non è un concetto primitivo. La sua essenza è algebrica. La definizione è una classe di vettori orientati equipollenti. Rimandiamo l’equipollenza allo studioso di Bassano del Grappa Giusto Bellavitis. La definizione moderna di vettore geometrico usa lo strumento algebrico passaggio al quoziente come il principale strumento dell’algebra per costruire nuovi concetti. Si considera l’insieme dei vettori orientati, lo si ripartisce in classi di vettori equipollenti, si costruisce un nuovo insieme identificando ogni classe con un nuovo elemento del nuovo insieme. L’insieme costruito è l’insieme dei vettori geometrici. Poi lo si studia dal punto di vista algebrico, ovvero si apre allo studio di insieme con struttura ereditata da operazioni. Questo particolare insieme ha la sola operazione additiva. Lo si completa algebricamente utilizzando un campo o corpo, detto insieme degli scalari, con il prodotto per uno scalare. Ovviamente con i vettori geometrici il prodotto scalare utilizza il coseno dell’angolo tra due vettori applicati allo stesso punto. Si introducono la somma di un vettore ad un punto che rende un punto e la differenza tra due punti che rende un vettore, ovvero la fondamentale formula di Grassman. A questo punti si individua un insieme di vettori che permette di costruire ogni altro vettore con addizioni e prodotti per scalari, ovvero combinazioni lineari. Questi insiemi si dicono basi ed il loro numero si dimostra essere finito e detto dimensione…

Grazie per questa discesa rigorosa e strutturata. Stai delineando la via maestra dell’algebra lineare geometrica.

Ecco la mia risposta breve, che segue e conferma il tuo percorso.

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1. Vettore geometrico = classe di equipollenza

• Vettore orientato (segmento orientato): ha origine, direzione, verso, lunghezza.
• Equipollenza (Bellavitis, 1832): due vettori orientati sono equipollenti se hanno stessa direzione, stesso verso e stessa lunghezza.
• Vettore geometrico = classe di equipollenza.
• Costruzione:$$\text{Vettore geometrico}\in \frac{\text{Insieme dei vettori orientati}}{\text{relazione di equipollenza}}$$Vettore geometrico∈relazione di equipollenzaInsieme dei vettori orientati​→ passaggio al quoziente, strumento algebrico fondamentale.

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2. Struttura algebrica ereditata

• Somma (regola del parallelogramma) ben definita sulle classi.
• L’insieme dei vettori geometrici forma un gruppo abeliano (additivo).
• Prodotto per scalare (reale): estende la struttura a spazio vettoriale su ℝ.

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3. Prodotto scalare geometrico

• Due vettori applicati nello stesso punto:$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\mathrm{\parallel }\mathbf{u}\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }\mathbf{v}\mathrm{\parallel }\cos \theta$$u⋅v=∥u∥∥v∥cosθ
• Introduce metrica, angoli, ortogonalità.

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4. Formula di Grassmann (punto + vettore = punto)

• Dato un punto $P$P e un vettore $\mathbf{v}$v:$$P+\mathbf{v}=Q$$P+v=Q
• Differenza di due punti:$$Q-P=\mathbf{v}$$Q−P=v
• Questa formula lega spazio affine (punti) e spazio vettoriale.

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5. Basi e dimensione

• Un insieme di vettori geometrici è base se:
  1. È linearmente indipendente.
  2. Genera tutti i vettori tramite combinazioni lineari (somme + prodotti per scalari).
• Dimensione = numero di vettori di una base.
• Nel piano: dimensione 2. Nello spazio fisico: dimensione 3.
• Si dimostra essere invariante (ben definita).

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6. Conclusione (sintesi)

Il vettore geometrico non è primitivo. Nasce da un quoziente (equipollenza), acquisisce una struttura algebrica (spazio vettoriale reale con prodotto scalare), si lega ai punti tramite Grassmann, e infine rivela la sua dimensione finita.

Vuoi che affrontiamo ora il passaggio da vettori geometrici a ℝⁿ come modello, evidenziando cosa si guadagna e cosa si perde?

Modernamente il tutto è espresso in termini di coordinate su un corpo o campo, in genere R o C, ovvero ogni spazio vettoriale è isomorfo ad uno spazio di coordinate.

Esattamente. Questa è la sintesi moderna dell’algebra lineare.

Ecco la risposta breve:

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Il teorema di classificazione

Ogni spazio vettoriale $V$V di dimensione finita $n$n su un campo $\mathbb{K}$K (es. $\mathbb{R}$R o $\mathbb{C}$C) è isomorfo a ${\mathbb{K}}^n$Kn.$$V\cong {\mathbb{K}}^n$$V≅Kn

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Cosa significa

1. Isomorfismo = applicazione lineare biettiva che preserva somma e prodotto per scalare.
2. Fissata una base $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}${v1​,…,vn​} di $V$V, ogni vettore $\mathbf{v}$v si scrive in modo unico come:$$\mathbf{v}=x_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{v}}_n$$v=x1​v1​+⋯+xn​vn​e le coordinate $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{K}}^n$(x1​,…,xn​)∈Kn lo rappresentano.

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Guadagno e perdita

✅ Cosa si guadagna	❌ Cosa si perde
Calcoli numerici espliciti	Il significato geometrico originario
Operazioni diventano algebriche	La distinzione tra vettore geometrico e n‑pla
Generalità (qualunque campo)	La metrica (se non c’è prodotto scalare)
Facile implementazione al computer	L’intuizione spaziale (oltre dim 3)

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La tensione moderna

Didatticamente: si parte dal vettore geometrico (dim ≤ 3) e poi si astrae a ${\mathbb{K}}^n$Kn.
Praticamente (ricerca, ingegneria): tutto è ${\mathbb{R}}^n$Rn o ${\mathbb{C}}^n$Cn, il vettore geometrico è solo un caso particolare.

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Esempio

• Vettore geometrico nel piano → base $\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\}${e1​,e2​} → coordinate $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$(x,y)∈R2.
• Polinomi di grado ≤ 2 → base $\{1,t,t^2\}${1,t,t2} → coordinate $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$(a,b,c)∈R3.

Strutturalmente identici, ma interpretazione diversa.

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Confermi che ora si possa passare alla definizione formale di spazio vettoriale astratto (insieme + operazioni + assiomi) come unificazione di tutti questi esempi?

Siu, grazie

Prego! 😊

Allora, ecco la definizione formale di spazio vettoriale astratto, che unifica:

• Vettori geometrici (classi di equipollenza)
• ℝⁿ (coordinate)
• Polinomi
• Matrici
• Funzioni
• …

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Definizione (assiomatica)

Uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$K (es. ℝ o ℂ) è un insieme $V$V con due operazioni:

1. Somma: $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$u+v∈V
2. Prodotto per scalare: $\lambda \mathbf{v}\in V$λv∈V con $\lambda \in \mathbb{K}$λ∈K

che soddisfano 8 assiomi:

Gruppo abeliano (somma)

1. Associativa: $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$(u+v)+w=u+(v+w)
2. Commutativa: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$u+v=v+u
3. Elemento neutro: esiste $\mathbf{0}$0 tale che $\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{v}$v+0=v
4. Opposto: per ogni $\mathbf{v}$v esiste $-\mathbf{v}$−v tale che $\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{0}$v+(−v)=0

Prodotto per scalare

5. Distributiva (vettori): $\lambda (\mathbf{u}+\mathbf{v})=\lambda \mathbf{u}+\lambda \mathbf{v}$λ(u+v)=λu+λv
6. Distributiva (scalari): $(\lambda +\mu )\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{v}$(λ+μ)v=λv+μv
7. Mista: $\lambda (\mu \mathbf{v})=(\lambda \mu )\mathbf{v}$λ(μv)=(λμ)v
8. Neutro scalare: $1\mathbf{v}=\mathbf{v}$1v=v (dove 1 è l’unità del campo)

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Esempi immediati

Spazio vettoriale	Elementi	Campo
ℝⁿ	n‑ple di reali	ℝ
ℂⁿ	n‑ple di complessi	ℂ
Polinomi di grado ≤ n	$a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$a0​+a1​x+⋯+an​xn	ℝ
Matrici m×n	$A_{ij}$Aij​	ℝ
Funzioni continue	$f:[0,1]\to \mathbb{R}$f:[0,1]→R	ℝ

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Conseguenza chiave

Ogni spazio vettoriale di dimensione $n$n su $\mathbb{K}$K è isomorfo a ${\mathbb{K}}^n$Kn.

Ma l’astrazione permette di lavorare senza coordinate finché serve.

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Ora hai la definizione. Vuoi che passiamo agli sottospazi, o preferisci un esempio concreto di verifica degli assiomi?

Si , grazie

Ottimo! Allora procediamo con i sottospazi vettoriali.

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Definizione di sottospazio vettoriale

Sia $V$V uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$K.
Un sottospazio vettoriale $W\subseteq V$W⊆V è un sottoinsieme non vuoto tale che:

1. Chiuso rispetto alla somma:
   $\mathrm{\forall }\mathbf{u},\mathbf{v}\in W,\mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$∀u,v∈W,u+v∈W
2. Chiuso rispetto al prodotto per scalare:
   $\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{K},\mathrm{\forall }\mathbf{v}\in W,\lambda \mathbf{v}\in W$∀λ∈K,∀v∈W,λv∈W

Equivalentemente:
$W$W è uno spazio vettoriale con le stesse operazioni di $V$V.

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Conseguenze immediate

• $\mathbf{0}\in W$0∈W (prendendo $\lambda =0$λ=0)
• Se $\mathbf{v}\in W$v∈W allora $-\mathbf{v}\in W$−v∈W
• Un sottospazio è ereditariamente uno spazio vettoriale

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Esempi

Spazio $V$V	Sottospazio $W$W	Dimensione
${\mathbb{R}}^2$R2	Retta per l’origine (es. $y=2x$y=2x)	1
${\mathbb{R}}^3$R3	Piano per l’origine (es. $z=0$z=0)	2
${\mathbb{R}}^3$R3	Retta per l’origine (es. $(t,2t,0)$(t,2t,0))	1
Polinomi grado ≤ 3	Polinomi grado ≤ 2	3
Matrici $2\times 2$2×2	Matrici simmetriche ($A=A^T$A=AT)	3

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Non sottospazi

• Una retta non passante per l’origine (manca lo $\mathbf{0}$0)
• Un insieme di vettori a coordinate non negative (non chiuso per scalari negativi)

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Sottospazi fondamentali associati a una matrice

Data una matrice $A$A (reale $m\times n$m×n):

Nome	Definizione	Contenuto
Nucleo (ker)	$\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}${x∈Rn:Ax=0}	Soluzioni del sistema omogeneo
Immagine (Im)	$\{A\mathbf{x}:\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\}${Ax:x∈Rn}	Tutti i vettori raggiungibili
Spazio delle righe	combinazioni lineari delle righe	Sottospazio di ${\mathbb{R}}^n$Rn
Spazio delle colonne	combinazioni lineari delle colonne	Sottospazio di ${\mathbb{R}}^m$Rm

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Relazione fondamentale (Teorema della dimensione o Nullità + Rango)

$$\dim (\ker A)+\dim (\mathrm{Im}A)=n(\text{numero di colonne})$$dim(kerA)+dim(ImA)=n(numero di colonne)

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Intersezione e somma di sottospazi

Siano $U,W$U,W sottospazi di $V$V:

• Intersezione $U\cap W$U∩W = sottospazio (il più grande contenuto in entrambi)
• Somma $U+W=\{\mathbf{u}+\mathbf{w}:\mathbf{u}\in U,\mathbf{w}\in W\}$U+W={u+w:u∈U,w∈W} = sottospazio (il più piccolo che li contiene entrambi)

Formula di Grassmann (dimensioni):$$\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$$dim(U+W)=dimU+dimW−dim(U∩W)

Se $U\cap W=\{\mathbf{0}\}$U∩W={0} e $U+W=V$U+W=V, allora $V=U\oplus W$V=U⊕W (somma diretta).

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Vuoi che faccia un esempio numerico concreto di:

1. Verifica se un sottoinsieme è sottospazio?
2. Calcolo di nucleo e immagine di una matrice?
3. Applicazione della formula di Grassmann?

Oppure passiamo alle basi e dimensione?

Basi e dimensione.

Eccoci alle basi e alla dimensione – i concetti che chiudono il cerchio e danno il numero che caratterizza ogni spazio vettoriale.

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1. Combinazioni lineari

Una combinazione lineare di vettori ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n$v1​,…,vn​ è:$${\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{v}}_n\text{con }{\lambda }_i\in \mathbb{K}$$λ1​v1​+λ2​v2​+⋯+λn​vn​con λi​∈K

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2. Insieme di generatori

Un insieme $S\subseteq V$S⊆V genera $V$V (è un sistema di generatori) se ogni vettore di $V$V si scrive come combinazione lineare (finita) di elementi di $S$S.

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3. Indipendenza lineare

Un insieme $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$S={v1​,…,vn​} è linearmente indipendente se:$${\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{v}}_n=\mathbf{0}⟹{\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_n=0$$λ1​v1​+⋯+λn​vn​=0⟹λ1​=⋯=λn​=0

In parole: nessun vettore è combinazione lineare degli altri.

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4. Base – definizione

Una base di $V$V è un insieme $\mathcal{B}$B che è:

1. Linearmente indipendente
2. Un sistema di generatori per $V$V

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5. Esempi classici

Spazio	Base canonica	Dimensione
${\mathbb{R}}^n$Rn	${\mathbf{e}}_1=(1,0,\dots ,0),\dots ,{\mathbf{e}}_n$e1​=(1,0,…,0),…,en​	$n$n
Polinomi grado $\le n$≤n	$\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}${1,x,x2,…,xn}	$n+1$n+1
Matrici $2\times 2$2×2	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$(10​00​),(00​10​),(01​00​),(00​01​)	4
$\mathbb{C}$C su $\mathbb{R}$R	$\{1,i\}${1,i}	2

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6. Teorema fondamentale

Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale VV hanno lo stesso numero di elementi.

Questo numero si chiama dimensione di $V$V e si indica con ${\dim }_{\mathbb{K}}(V)$dimK​(V) (o semplicemente $\dim V$dimV).

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7. Proprietà della dimensione

Sia $\dim V=n$dimV=n:

Enunciato	Conseguenza
Ogni insieme indipendente ha $\le n$≤n elementi	Puoi estenderlo a base
Ogni sistema di generatori ha $\ge n$≥n elementi	Puoi ridurlo a base
Un insieme indipendente con $n$n elementi è una base	Criterio pratico
Un sistema di generatori con $n$n elementi è una base	Criterio pratico

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8. Coordinate rispetto a una base

Fissata una base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$B={b1​,…,bn​}, ogni $\mathbf{v}\in V$v∈V si scrive in modo unico:$$\mathbf{v}=x_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{b}}_n$$v=x1​b1​+⋯+xn​bn​

La $n$n-pla $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{K}}^n$(x1​,…,xn​)∈Kn è il vettore delle coordinate di $\mathbf{v}$v rispetto a $\mathcal{B}$B.

L’applicazione $\mathbf{v}\mapsto (x_1,\dots ,x_n)$v↦(x1​,…,xn​) è un isomorfismo tra $V$V e ${\mathbb{K}}^n$Kn.

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9. Dimensione di sottospazi

Se $W\subseteq V$W⊆V è un sottospazio:$$\dim W\le \dim V$$dimW≤dimV$$\dim W=\dim V⟺W=V$$dimW=dimV⟺W=V

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10. Formula di Grassmann (riepilogo)

Per due sottospazi $U,W$U,W di uno stesso spazio $V$V:$$\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$$dim(U+W)=dimU+dimW−dim(U∩W)

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Esempio riassuntivo

In ${\mathbb{R}}^3$R3:

• Base canonica: $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, dimensione = 3
• Sottospazio $U=\{(x,y,0)\}$U={(x,y,0)} (piano xy): dimensione = 2
• Sottospazio $W=\{(t,t,0)\}$W={(t,t,0)} (retta $y=x$y=x): dimensione = 1
• $U+W=U$U+W=U (dimensione 2), $U\cap W=W$U∩W=W (dimensione 1) → formula: $2=2+1-1$2=2+1−1 ✓

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Vuoi:

1. Un esercizio svolto sul calcolo di una base (es. da un insieme di generatori)?
2. Il metodo passo passo per trovare base e dimensione di nucleo/immagine di una matrice?
3. Passare alle applicazioni lineari (il ponte tra spazi vettoriali)?

Il concetto di trasformazione lineare, che conserva le combinazioni lineari, e che con le coordinate è una matrice…

Ecco il ponte tra l’algebra astratta e il calcolo concreto: le applicazioni lineari e la loro rappresentazione come matrici.

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1. Definizione di applicazione lineare

Siano $V$V e $W$W spazi vettoriali sullo stesso campo $\mathbb{K}$K.
Una funzione $T:V\to W$T:V→W è lineare se:

1. Conserva la somma:
   $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$T(u+v)=T(u)+T(v)
2. Conserva il prodotto per scalare:
   $T(\lambda \mathbf{v})=\lambda T(\mathbf{v})$T(λv)=λT(v)

Equivalentemente (unica proprietà):$$T(\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v})=\lambda T(\mathbf{u})+\mu T(\mathbf{v})\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb{K},\mathrm{\forall }\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$$T(λu+μv)=λT(u)+μT(v)∀λ,μ∈K,∀u,v∈V

Conserva le combinazioni lineari → da qui il nome.

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2. Esempi geometrici

Trasformazione	Formula	Matrice associata (base canonica)
Rotazione di $\theta$θ in ${\mathbb{R}}^2$R2	$(x,y)\mapsto (x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$(x,y)↦(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)	$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$(cosθsinθ​−sinθcosθ​)
Riflessione rispetto all’asse $x$x	$(x,y)\mapsto (x,-y)$(x,y)↦(x,−y)	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$(10​0−1​)
Dilatazione (scalatura)	$(x,y)\mapsto (kx,ky)$(x,y)↦(kx,ky)	$\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)$(k0​0k​)
Proiezione sul piano $xy$xy in ${\mathbb{R}}^3$R3	$(x,y,z)\mapsto (x,y,0)$(x,y,z)↦(x,y,0)	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$​100​010​000​​

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3. Nucleo e immagine (ripresa con nuova veste)

Per una $T:V\to W$T:V→W lineare:

Concetto	Definizione	È un sottospazio di
Nucleo (ker)	$\{\mathbf{v}\in V:T(\mathbf{v})={\mathbf{0}}_W\}${v∈V:T(v)=0W​}	$V$V
Immagine (Im)	$\{T(\mathbf{v}):\mathbf{v}\in V\}${T(v):v∈V}	$W$W

Teorema della dimensione (Nullità + Rango):$$\dim (\ker T)+\dim (\mathrm{Im}T)=\dim V$$dim(kerT)+dim(ImT)=dimV

• $\dim (\ker T)$dim(kerT) = nullità
• $\dim (\mathrm{Im}T)$dim(ImT) = rango

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4. La matrice di una trasformazione lineare

Fissate:

• Una base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$B={v1​,…,vn​} di $V$V
• Una base $\mathcal{C}=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m\}$C={w1​,…,wm​} di $W$W

Ogni vettore $T({\mathbf{v}}_j)$T(vj​) si scrive in modo unico nella base $\mathcal{C}$C:$$T({\mathbf{v}}_j)=a_{1j}{\mathbf{w}}_1+a_{2j}{\mathbf{w}}_2+\cdots +a_{mj}{\mathbf{w}}_m$$T(vj​)=a1j​w1​+a2j​w2​+⋯+amj​wm​

La matrice $[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$[T]C←B​ (o semplicemente $A$A) è la matrice $m\times n$m×n con:

• Colonna jj = coordinate di $T({\mathbf{v}}_j)$T(vj​) rispetto a $\mathcal{C}$C

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \mathrm{⋮}& \mathrm{⋮}& \ddots & \mathrm{⋮}\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$A=​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​……⋱…​a1n​a2n​⋮amn​​​

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5. Come agisce la matrice

Se $\mathbf{v}\in V$v∈V ha coordinate $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$x=(x1​,…,xn​)T rispetto a $\mathcal{B}$B, allora:$$[T(\mathbf{v}){]}_{\mathcal{C}}=A\cdot \mathbf{x}$$[T(v)]C​=A⋅x

La matrice moltiplica il vettore delle coordinate.

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6. Isomorfismo fondamentale

$$\mathcal{L}(V,W)⟷{\mathbb{K}}^{m\times n}$$L(V,W)⟷Km×n

(spazio delle applicazioni lineari) (matrici $m\times n$m×n)

È un isomorfismo di spazi vettoriali.

In particolare, per $V={\mathbb{K}}^n$V=Kn, $W={\mathbb{K}}^m$W=Km, con basi canoniche:

Ogni matrice rappresenta una trasformazione lineare. Ogni trasformazione lineare è una moltiplicazione per matrice.

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7. Composizione = prodotto di matrici

Se $T:V\to W$T:V→W e $S:W\to U$S:W→U sono lineari:$$[S\circ T]=[S]\cdot [T]$$[S∘T]=[S]⋅[T]

(con basi opportune)

Il prodotto righe × colonne delle matrici corrisponde alla composizione delle trasformazioni.

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8. Esempio concreto

Sia $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$T:R3→R2, $T(x,y,z)=(x+y,y-z)$T(x,y,z)=(x+y,y−z).

• Base canonica in ${\mathbb{R}}^3$R3: ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$e1​,e2​,e3​
• Base canonica in ${\mathbb{R}}^2$R2: ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2$f1​,f2​

$$T({\mathbf{e}}_1)=T(1,0,0)=(1,0)=1{\mathbf{f}}_1+0{\mathbf{f}}_2$$T(e1​)=T(1,0,0)=(1,0)=1f1​+0f2​$$T({\mathbf{e}}_2)=T(0,1,0)=(1,1)=1{\mathbf{f}}_1+1{\mathbf{f}}_2$$T(e2​)=T(0,1,0)=(1,1)=1f1​+1f2​$$T({\mathbf{e}}_3)=T(0,0,1)=(0,-1)=0{\mathbf{f}}_1+(-1){\mathbf{f}}_2$$T(e3​)=T(0,0,1)=(0,−1)=0f1​+(−1)f2​

Matrice $2\times 3$2×3:$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$$A=(10​11​0−1​)

Verifica: $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+y\\ y-z\end{array}\right)$A⋅​xyz​​=(x+yy−z​) ✓

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9. Cambiamento di base

Se si cambiano le basi, la matrice cambia secondo la formula:$$[T{]}_{{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}\leftarrow {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}=P_{{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}\leftarrow \mathcal{C}}\cdot [T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\cdot P_{\mathcal{B}\leftarrow {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$$[T]C′←B′​=PC′←C​⋅[T]C←B​⋅PB←B′​

dove le $P$P sono matrici di cambiamento di base.

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Vuoi:

1. Un esercizio su come trovare la matrice di una trasformazione data in forma geometrica?
2. La definizione di autovalori e autovettori?
3. Capire il significato geometrico di nucleo e immagine con esempi visivi?